الفرق بين الوسط الحسابي والهندسي والتوافقي: دليلك الإحصائي الشامل
في عالم الإحصاء وتحليل البيانات، تُستخدم المتوسطات كمقياس مركزي لفهم طبيعة البيانات. من أشهر هذه المتوسطات: الوسط الحسابي، الوسط الهندسي، والوسط التوافقي. في هذا المقال، نقدم لك شرحًا وافيًا عن الفروقات الجوهرية بين هذه المتوسطات الثلاثة، وأين يُستخدم كل منها، مدعمًا بالأمثلة والتطبيقات الواقعية.
1. ما هو الوسط الحسابي؟
الوسط الحسابي (Arithmetic Mean) هو المتوسط الأكثر شيوعًا، ويُحسب بجمع القيم ثم قسمتها على عددها. يُستخدم عندما تكون البيانات موزعة بشكل طبيعي ولا تحتوي على قيم متطرفة كبيرة.
الصيغة: (مجموع القيم) ÷ (عدد القيم)
مثال:
إذا كانت لدينا القيم: 4، 8، 10، فإن الوسط الحسابي = (4 + 8 + 10) ÷ 3 = 7.33
2. ما هو الوسط الهندسي؟
الوسط الهندسي (Geometric Mean) يُستخدم مع البيانات التي تمثل معدلات نمو أو تغيرات نسبية، كالعوائد المالية أو معدلات النمو السكاني. يتم حسابه بأخذ الجذر النوني لحاصل ضرب القيم.
الصيغة: الجذر النوني (ن√) لحاصل ضرب القيم = √(س1 × س2 × ... × سن)
مثال:
إذا كانت لدينا القيم: 4، 8، 10، فإن الوسط الهندسي = الجذر التكعيبي (³√(4 × 8 × 10)) ≈ 7.37
3. ما هو الوسط التوافقي؟
الوسط التوافقي (Harmonic Mean) يُستخدم عندما نتعامل مع معدلات مثل السرعة أو الكفاءة. يتم حسابه عن طريق مقلوب المتوسط الحسابي لمقلوبات القيم.
الصيغة: عدد القيم ÷ (مجموع مقلوبات القيم)
مثال:
إذا كانت لدينا القيم: 4، 8، 10، فإن الوسط التوافقي = 3 ÷ [(1 ÷ 4) + (1 ÷ 8) + (1 ÷ 10)] ≈ 6.15
4. المقارنة بين المتوسطات الثلاثة
| النوع | الصيغة | الاستخدام الأمثل | الحساسية للقيم المتطرفة |
|---|---|---|---|
| الوسط الحسابي | (مجموع القيم) ÷ (عددها) | بيانات طبيعية بدون تطرف | مرتفع |
| الوسط الهندسي | ن√(س1 × س2 × ... × سن) | معدلات النمو والتراكم | متوسط |
| الوسط التوافقي | ن ÷ (1/س1 + 1/س2 + ... + 1/سن) | المعدلات والسرعة | منخفض |
5. تطبيقات عملية
أ. في التمويل:
يُستخدم الوسط الهندسي لحساب متوسط العائد السنوي المركب (CAGR) لأنه يأخذ في الاعتبار التراكم.
ب. في السرعة:
إذا قطعت مسافتين بسرعة مختلفة، فإن متوسط السرعة يُحسب بالوسط التوافقي وليس الحسابي.
ج. في الإحصاء الوصفي:
الوسط الحسابي هو الخيار الافتراضي لكنه قد يكون مضللًا بوجود قيم شاذة.
6. كيف تختار المتوسط المناسب؟
يعتمد الاختيار على طبيعة البيانات:
- إذا كانت البيانات نسبية أو متراكمة → استخدم الوسط الهندسي
- إذا كانت معدلات (مثل السرعة) → استخدم الوسط التوافقي
- إذا كانت موزعة طبيعيًا → استخدم الوسط الحسابي
7. العلاقة الرياضية بين المتوسطات الثلاثة
هناك قاعدة شهيرة في الرياضيات:
الوسط التوافقي ≤ الوسط الهندسي ≤ الوسط الحسابي