مقاييس الالتواء والتفرطح في الإحصاء: كيف تفهم شكل توزيع البيانات بسهولة؟
هل يكفي أن تعرف المتوسط الحسابي والانحراف المعياري حتى تفهم شكل البيانات؟ الإجابة هي: لا دائمًا.
فقد يكون لدينا مجموعتان من البيانات لهما متوسط حسابي متقارب، وربما يكون لهما أيضًا تشتت متشابه، ولكن شكل توزيع البيانات في كل مجموعة يكون مختلفًا تمامًا.
وهنا تظهر أهمية مقاييس التماثل والالتواء والتفرطح، لأنها تساعدنا على فهم الشكل العام للتوزيع الإحصائي، ومعرفة ما إذا كانت البيانات متماثلة حول مركزها، أو تميل ناحية اليمين أو اليسار، وكذلك معرفة طبيعة قمة التوزيع: هل هي حادة، معتدلة أم مسطحة؟
في هذا المقال سنتعرف بصورة مبسطة وعملية على أهم المقاييس المستخدمة لوصف شكل التوزيع، وعلى رأسها معامل بيرسون للالتواء، والعزم الثالث، والعزم الرابع للتفرطح، مع قوانين وأمثلة تطبيقية تساعدك على فهم الفكرة وليس مجرد حفظ القوانين.
محتويات المقال
- ما المقصود بشكل توزيع البيانات؟
- ما المقصود بالتماثل في التوزيع؟
- ما المقصود بالالتواء؟
- أنواع الالتواء
- مقاييس الالتواء في الإحصاء
- معامل بيرسون للالتواء
- مثال تطبيقي على معامل بيرسون
- العزم الثالث كمقياس للالتواء
- التفرطح والتدبدب
- العزم الرابع لقياس التفرطح
- مثال تطبيقي على التفرطح
- الفرق بين الالتواء والتفرطح
- أهمية هذه المقاييس في التحليل الإحصائي
- الأسئلة الشائعة
أولًا: ما المقصود بشكل توزيع البيانات؟
عندما نقوم بجمع مجموعة من البيانات الإحصائية، فإننا لا نهتم فقط بمعرفة متوسط هذه البيانات، ولكن نهتم أيضًا بمعرفة الطريقة التي تنتشر بها القيم حول المتوسط.
فمثلًا، إذا قمنا بدراسة دخول مجموعة من الأفراد، فقد نجد أن معظم الأفراد يحصلون على دخول متقاربة، بينما يوجد عدد قليل جدًا من الأفراد يحصلون على دخول مرتفعة للغاية.
في هذه الحالة لن يكون توزيع البيانات متماثلًا بالضرورة، لأن القيم المرتفعة جدًا قد تسحب التوزيع في اتجاه معين.
لذلك فإن دراسة شكل التوزيع تساعد الباحث على معرفة طبيعة البيانات بصورة أكثر شمولًا.
ثانيًا: ما المقصود بالتماثل؟
يكون توزيع البيانات متماثلًا عندما تتوزع القيم حول مركز التوزيع بصورة متقاربة من الجانبين.
وبصورة مبسطة، إذا تخيلنا منحنى التوزيع مقسومًا إلى نصفين بواسطة خط رأسي يمر من مركزه، فإن جانبي المنحنى يكونان متشابهين تقريبًا.
وفي التوزيع المتماثل تقريبًا تتقارب قيم:
- الوسط الحسابي.
- الوسيط.
- المنوال.
وكلما زاد الاختلاف بين هذه المقاييس، فقد يكون ذلك مؤشرًا على وجود التواء في توزيع البيانات.
ثالثًا: ما المقصود بالالتواء في الإحصاء؟
الالتواء هو مقياس يصف مدى ابتعاد توزيع البيانات عن التماثل، كما يوضح اتجاه هذا الابتعاد.
فإذا كانت البيانات موزعة بصورة متقاربة حول المركز، فإن التوزيع يكون قريبًا من التماثل.
أما إذا كانت إحدى جهتي التوزيع تمتد لمسافة أكبر من الجهة الأخرى، فإننا نقول إن التوزيع يحتوي على التواء.
الالتواء الموجب
يحدث الالتواء الموجب عندما يمتد ذيل التوزيع ناحية اليمين، أي باتجاه القيم الكبيرة.
ويُعرف أيضًا باسم الالتواء إلى اليمين.
الالتواء السالب
يحدث الالتواء السالب عندما يمتد ذيل التوزيع ناحية اليسار، أي باتجاه القيم الصغيرة.
ويُعرف أيضًا باسم الالتواء إلى اليسار.
التوزيع المتماثل
عندما يكون التوزيع قريبًا من التماثل ولا يوجد ميل واضح ناحية اليمين أو اليسار، تكون قيمة الالتواء قريبة من الصفر.
رابعًا: أهم مقاييس الالتواء
توجد عدة طرق لقياس درجة الالتواء في البيانات، ومن أهمها:
- معامل بيرسون للالتواء.
- العزم الثالث حول المتوسط.
- بعض المقاييس الأخرى التي تعتمد على الربيعات أو العزوم.
خامسًا: معامل بيرسون للالتواء
يعتبر معامل بيرسون من المقاييس المعروفة لقياس درجة الالتواء، ويعتمد في صورته الشائعة على الوسط الحسابي والمنوال والانحراف المعياري.
وتكون صيغته:
حيث:
- Sk = معامل بيرسون للالتواء.
- x̄ = الوسط الحسابي.
- Mo = المنوال.
- s = الانحراف المعياري.
ملاحظة مهمة: من عيوب هذه الصيغة أنها تعتمد على المنوال، وقد لا يكون المنوال موجودًا بصورة واضحة في بعض البيانات، أو قد يكون للتوزيع أكثر من منوال.
سادسًا: صيغة بيرسون باستخدام الوسيط
في حالة عدم مناسبة استخدام المنوال، يمكن استخدام الصيغة التقريبية التي تعتمد على العلاقة بين الوسط الحسابي والوسيط والمنوال.
ومن العلاقة التقريبية:
يمكن الحصول على صيغة معامل بيرسون الثانية:
حيث:
- Md = الوسيط.
- x̄ = الوسط الحسابي.
- s = الانحراف المعياري.
سابعًا: كيف نفسر إشارة معامل بيرسون؟
تعتبر إشارة معامل الالتواء من أهم الأمور التي يجب الانتباه إليها.
| قيمة Sk | التفسير |
|---|---|
| Sk = 0 تقريبًا | التوزيع متماثل أو قريب من التماثل |
| Sk > 0 | التواء موجب، أي إلى اليمين |
| Sk < 0 | التواء سالب، أي إلى اليسار |
ثامنًا: مثال تطبيقي على معامل بيرسون للالتواء
إذا كان لدينا:
- الوسط الحسابي = 17.85
- الوسيط = 18.5
- الانحراف المعياري = 7.8
المطلوب حساب معامل بيرسون للالتواء.
إذن معامل الالتواء يساوي تقريبًا:
وبما أن القيمة سالبة، فإن التوزيع يحتوي على التواء سالب بسيط، أي أن الذيل يمتد قليلًا ناحية اليسار، ويكون التوزيع قريبًا من التماثل.
تاسعًا: العزم الثالث كمقياس للالتواء
تعتبر العزوم من الأدوات الإحصائية المهمة في وصف شكل التوزيعات. ومن خلال العزوم يمكن التعرف على خصائص مختلفة للتوزيع.
ويستخدم العزم الثالث حول الوسط الحسابي في قياس الالتواء.
وللبيانات غير المبوبة يمكن التعبير عنه بالصورة الآتية:
أما عند استخدام الانحراف المعياري للحصول على مقياس معياري للالتواء، فيمكن كتابة معامل الالتواء بالعلاقة:
حيث:
- m₃ = العزم الثالث حول الوسط الحسابي.
- s = الانحراف المعياري.
- n = عدد المشاهدات.
العزم الثالث في حالة البيانات المبوبة
عندما تكون البيانات في صورة جدول توزيع تكراري، فإننا نستخدم مراكز الفئات والتكرارات.
ويمكن الحصول بعد ذلك على معامل الالتواء المعياري من خلال:
مثال تطبيقي على العزم الثالث
لدينا توزيع تكراري لدرجات اختبار 33 شخصًا تقدموا للعمل في إحدى الشركات.
| الفئة | التكرار |
|---|---|
| 22 - 32 | 4 |
| 33 - 43 | 6 |
| 44 - 54 | 10 |
| 55 - 65 | 9 |
| 66 - 76 | 4 |
| المجموع | 33 |
وبحسب الحسابات نجد أن قيمة معامل الالتواء باستخدام العزم الثالث تساوي تقريبًا:
وتشير القيمة السالبة الصغيرة إلى وجود التواء سالب بسيط، وأن شكل التوزيع قريب من التماثل.
عاشرًا: ما المقصود بالتفرطح والتدبدب؟
بعد أن تعرفنا على الالتواء، ننتقل إلى مقياس آخر يهتم بشكل التوزيع، وهو التفرطح.
والتفرطح يصف درجة حدة أو تسطح قمة منحنى التوزيع مقارنة بالتوزيع المعتدل.
وبعبارة أبسط: الالتواء يهتم باتجاه التوزيع، بينما التفرطح يهتم بشكل قمة التوزيع.
وقد تكون قمة التوزيع:
- حادة ومرتفعة.
- معتدلة.
- مسطحة.
أنواع التفرطح
1. التوزيع المدبب
يكون منحنى التوزيع أكثر حدة وارتفاعًا في القمة مقارنة بالتوزيع المعتدل.
ويشار إليه في بعض المراجع بمصطلح: Leptokurtic.
2. التوزيع معتدل التفرطح
يكون شكل القمة معتدلًا، ويعد التوزيع الطبيعي القياسي مثالًا شائعًا على التوزيع المعتدل التفرطح.
ويشار إليه بمصطلح: Mesokurtic.
3. التوزيع مفرطح
تكون قمة التوزيع أكثر تسطحًا وأقل حدة مقارنة بالتوزيع المعتدل.
ويشار إليه بمصطلح: Platykurtic.
الحادي عشر: العزم الرابع وقياس التفرطح
يستخدم العزم الرابع حول الوسط الحسابي في دراسة درجة التفرطح.
ويمكن حساب معامل التفرطح باستخدام الصيغة:
وفي حالة البيانات المبوبة:
حيث:
- m₄ = العزم الرابع حول الوسط الحسابي.
- s = الانحراف المعياري.
- fᵢ = تكرار الفئة.
- xᵢ = مركز الفئة.
كيف نفسر قيمة معامل التفرطح؟
عند استخدام معامل التفرطح بالشكل:
فإن القيمة المرجعية للتوزيع الطبيعي هي:
| قيمة β₂ | نوع التوزيع |
|---|---|
| β₂ > 3 | مدبب |
| β₂ = 3 | معتدل التفرطح |
| β₂ < 3 | مفرطح |
تنبيه مهم: توجد طريقة أخرى شائعة للتعبير عن التفرطح وهي Excess Kurtosis، وفيها يتم طرح 3 من معامل التفرطح:
لذلك يجب الانتباه إلى الصيغة المستخدمة قبل تفسير القيمة.
مثال تطبيقي على التفرطح
باستخدام بيانات المثال السابق، إذا كانت لدينا:
- Σfᵢ(xᵢ - x̄)⁴ = 2,111,714
- s⁴ = 31,214.853
- Σfᵢ = 33
نحسب معامل التفرطح كما يلي:
وبما أن:
فإن التوزيع يكون مفرطحًا مقارنة بالتوزيع الطبيعي وفق هذا المقياس.
الفرق بين الالتواء والتفرطح
من الأخطاء الشائعة لدى بعض الطلاب الخلط بين الالتواء والتفرطح، رغم أن كل مقياس منهما يصف جانبًا مختلفًا من شكل التوزيع.
| المقياس | ماذا يقيس؟ |
|---|---|
| الالتواء | اتجاه ومدى عدم تماثل التوزيع |
| التفرطح | درجة حدة أو تسطح قمة التوزيع |
ولذلك يمكن أن يكون لدينا توزيع:
- متماثل تقريبًا ولكنه مدبب.
- متماثل تقريبًا ولكنه مفرطح.
- ملتوي إلى اليمين.
- ملتوي إلى اليسار.
وهذا يوضح أن الالتواء والتفرطح لا يقيسان الشيء نفسه.
لماذا نهتم بمقاييس الالتواء والتفرطح؟
أهمية هذه المقاييس لا تقتصر على الجانب النظري في مادة الإحصاء، وإنما تمتد إلى التحليل الإحصائي والبحث العلمي وتحليل البيانات.
1. فهم طبيعة البيانات
تساعدنا هذه المقاييس على معرفة ما إذا كانت البيانات قريبة من التوزيع المتماثل أم تحتوي على انحراف واضح.
2. اكتشاف القيم المتطرفة
قد يكون وجود قيم شديدة الارتفاع أو الانخفاض سببًا في ظهور التواء واضح في التوزيع.
3. اختيار الأسلوب الإحصائي المناسب
فهم شكل توزيع البيانات يساعد الباحث في اختيار الاختبارات والأساليب الإحصائية المناسبة لطبيعة البيانات.
4. تفسير النتائج
لا يكفي أن نقول إن متوسط البيانات يساوي قيمة معينة، بل من المهم معرفة كيف تتوزع القيم حول هذا المتوسط.
5. تحليل البيانات المالية
تظهر أهمية الالتواء والتفرطح بشكل واضح في البيانات المالية، مثل عوائد الأسهم والدخل والأسعار والمخاطر المالية.
كيف تقرأ شكل التوزيع بطريقة بسيطة؟
يمكن تلخيص الفكرة في ثلاث أسئلة:
- هل التوزيع متماثل أم ملتوي؟
- إذا كان ملتويًا، فما اتجاه الالتواء؟
- هل قمة التوزيع حادة أم معتدلة أم مسطحة؟
السؤال الأول والثاني يرتبطان بالالتواء، بينما السؤال الثالث يرتبط بالتفرطح.
خلاصة المقال
مقاييس شكل التوزيع تعتبر جزءًا مهمًا من الإحصاء الوصفي، لأنها تعطينا معلومات لا يمكن الحصول عليها من المتوسط الحسابي وحده.
فمعامل الالتواء يساعدنا على معرفة مدى تماثل التوزيع واتجاه انحرافه، بينما يساعدنا التفرطح على معرفة طبيعة قمة التوزيع.
ومن أهم المقاييس التي تعرفنا عليها:
- معامل بيرسون للالتواء.
- العزم الثالث لقياس الالتواء.
- العزم الرابع لقياس التفرطح.
والأهم من حفظ القوانين هو فهم معنى النتيجة؛ فالقيمة السالبة لمعامل الالتواء تشير إلى اتجاه اليسار، والقيمة الموجبة تشير إلى اتجاه اليمين، بينما تتم مقارنة معامل التفرطح بالقيمة المرجعية 3 عند استخدام معامل β₂.
وبذلك نستطيع الانتقال من مجرد وصف البيانات بالأرقام إلى فهم شكل البيانات وطبيعتها بصورة أعمق.
الأسئلة الشائعة حول الالتواء والتفرطح
ما هو الالتواء في الإحصاء؟
الالتواء هو مقياس يوضح مدى عدم تماثل توزيع البيانات، كما يوضح اتجاه امتداد ذيل التوزيع إلى اليمين أو اليسار.
ماذا يعني معامل الالتواء الموجب؟
يعني أن التوزيع يحتوي على التواء موجب، ويكون ذيل التوزيع ممتدًا ناحية اليمين أو القيم الكبيرة.
ماذا يعني معامل الالتواء السالب؟
يعني أن التوزيع يحتوي على التواء سالب، ويكون ذيل التوزيع ممتدًا ناحية اليسار أو القيم الصغيرة.
ما هو معامل بيرسون للالتواء؟
هو أحد مقاييس الالتواء، ويمكن حسابه باستخدام الوسط الحسابي والمنوال والانحراف المعياري، أو باستخدام الوسط الحسابي والوسيط والانحراف المعياري.
ما هو العزم الثالث؟
العزم الثالث حول الوسط الحسابي هو أحد المقاييس المستخدمة لدراسة الالتواء في التوزيعات الإحصائية.
ما هو التفرطح في الإحصاء؟
التفرطح هو مقياس يصف درجة حدة أو تسطح قمة منحنى التوزيع مقارنة بالتوزيع المعتدل.
ما هو العزم الرابع؟
العزم الرابع حول الوسط الحسابي يستخدم في حساب معامل التفرطح ودراسة شكل قمة التوزيع.
ما الفرق بين الالتواء والتفرطح؟
الالتواء يهتم باتجاه وعدم تماثل التوزيع، بينما التفرطح يهتم بدرجة حدة أو تسطح قمة التوزيع.