الانحراف المعياري في الإحصاء: القانون والأمثلة والاستخدامات | Standard Deviation

الانحراف المعياري في الإحصاء: أهم مقياس لقياس تشتت البيانات

العنوان الإنجليزي للرابط: Standard Deviation in Statistics: Formula and Examples

السلسلة: مقاييس التشتت في الإحصاء – الجزء الثاني

مقدمة

بعد أن تعرفنا في الجزء الأول على المدى والمدى الربيعي، ننتقل الآن إلى أحد أهم مقاييس التشتت في الإحصاء، وهو الانحراف المعياري.

ويُعد الانحراف المعياري من أكثر مقاييس التشتت استخدامًا؛ لأنه يعطي صورة أكثر دقة عن مدى ابتعاد قيم البيانات عن المتوسط الحسابي، كما أنه يتميز بإمكانية استخدامه في العديد من العمليات والتحليلات الإحصائية.

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي يوضح مقدار تشتت أو انتشار قيم البيانات حول المتوسط الحسابي.

كلما كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة، دل ذلك عادةً على أن البيانات أكثر تقاربًا وتجانسًا حول المتوسط. أما عندما تكون قيمة الانحراف المعياري كبيرة، فهذا يعني أن البيانات أكثر انتشارًا وتشتتًا.

ويرمز إلى الانحراف المعياري للمجتمع بالرمز σ، بينما يرمز إليه في العينة بالرمز s.

لماذا لا نستخدم متوسط الانحرافات مباشرة؟

إذا حسبنا الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، فإننا نحصل على الانحراف عن المتوسط:

D_i = X_i − X̄

ولكن عند جمع هذه الانحرافات، فإن مجموعها يساوي صفرًا:

Σ(X_i − X̄) = 0

وذلك لأن الانحرافات الموجبة تلغي الانحرافات السالبة. لذلك يتم تربيع الانحرافات قبل حساب متوسطها، ومن هنا نحصل على التباين، ثم نأخذ الجذر التربيعي للتباين لنحصل على الانحراف المعياري.

الانحراف المعياري للبيانات غير المبوبة

في حالة العينة:

s = √[Σ(X_i − X̄)² / (n − 1)]

وفي حالة المجتمع:

σ = √[Σ(X_i − μ)² / N]

حيث:

• X_i: قيمة المشاهدة.
• X̄: المتوسط الحسابي للعينة.
• μ: المتوسط الحسابي للمجتمع.
• n: حجم العينة.
• N: حجم المجتمع.

مثال على الانحراف المعياري

لنفترض أن لدينا القيم التالية:

5 ، 8 ، 12 ، 3 ، 7

المتوسط الحسابي:

X̄ = 35 / 5 = 7

مجموع مربعات الانحرافات عن المتوسط:

Σ(X_i − X̄)² = 46

وبما أن البيانات تمثل عينة:

s = √(46 / 4)

s = √11.5 ≈ 3.39

إذن الانحراف المعياري يساوي تقريبًا 3.39.

الصيغة المختصرة للانحراف المعياري

يمكن استخدام صيغة مختصرة لتقليل العمليات الحسابية:

s = √[(ΣX_i² − (ΣX_i)² / n) / (n − 1)]

وهذه الصيغة مفيدة خاصة عند التعامل مع عدد كبير من القيم.

الانحراف المعياري للبيانات المبوبة

عند وجود البيانات في جدول توزيع تكراري، نستخدم مركز الفئة X_i والتكرار f_i.

الصيغة المختصرة للعينة هي:

s = √[(Σf_iX_i² − (Σf_iX_i)² / n) / (n − 1)]

حيث:

n = Σf_i

أي أن n يساوي مجموع التكرارات.

طريقة مختصرة للبيانات المبوبة

يمكن أيضًا استخدام طريقة الانحرافات عن قيمة فرضية، خاصة عندما تكون مراكز الفئات كبيرة.

d_i = (X_i − X₀) / H

حيث:

• X_i: مركز الفئة.
• X₀: القيمة الفرضية.
• H: طول الفئة.

وتكون الصيغة:

s = H √[(Σf_id_i² − (Σf_id_i)² / n) / (n − 1)]

الانحراف المتوسط Mean Deviation

من مقاييس التشتت الأخرى الانحراف المتوسط، وهو يعتمد على متوسط الانحرافات المطلقة للقيم عن المتوسط الحسابي.

في حالة البيانات غير المبوبة:

D_m = Σ|X_i − X̄| / n

أما في حالة البيانات المبوبة:

D_m = Σf_i|X_i − X̄| / Σf_i

ويُعد الانحراف المتوسط أقل استخدامًا من الانحراف المعياري في كثير من التطبيقات الإحصائية؛ لأن الاعتماد على القيم المطلقة يجعل التعامل الجبري معه أقل مرونة.

لماذا الانحراف المعياري مهم؟

• يقيس مقدار انتشار البيانات حول المتوسط.
• يساعد في مقارنة درجة التشتت بين مجموعات البيانات.
• يستخدم في العديد من الاختبارات والتحليلات الإحصائية.
• يرتبط بالتوزيع الطبيعي والقيمة المعيارية.
• يستخدم في التحليل الاستدلالي وتقدير المعلمات واختبار الفرضيات.

خلاصة الجزء الثاني

تعرفنا في هذا الجزء على الانحراف المعياري، وطريقة حسابه للبيانات غير المبوبة والمبوبة، بالإضافة إلى الصيغ المختصرة، ثم تعرفنا على الانحراف المتوسط.

وفي الجزء الثالث سننتقل إلى استخدام الانحراف المعياري في التوزيع الطبيعي، ثم القيمة المعيارية Z، وأخيرًا معامل الاختلاف الذي يساعدنا على مقارنة التشتت بين مجموعات تختلف في المتوسط أو وحدة القياس.

أسئلة شائعة

ما هو الانحراف المعياري؟

هو مقياس إحصائي يوضح مدى انتشار قيم البيانات حول المتوسط الحسابي.

ماذا يعني ارتفاع الانحراف المعياري؟

يعني أن القيم أكثر انتشارًا وتباعدًا عن المتوسط الحسابي.

ما الفرق بين الانحراف المعياري والتباين؟

التباين هو متوسط مربعات الانحرافات عن المتوسط، بينما الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.