مقاييس التشتت في الإحصاء: كيف نعرف مدى انتشار البيانات؟
العنوان الإنجليزي للرابط: Dispersion Measures in Statistics: Range and Interquartile Range
السلسلة: مقاييس التشتت في الإحصاء – الجزء الأول
مقدمة: لماذا لا يكفي المتوسط الحسابي؟
عندما نتعامل مع مجموعة من البيانات، فإننا غالبًا نبدأ بحساب المتوسط الحسابي لمعرفة القيمة التي تتمركز حولها البيانات. ولكن هل المتوسط الحسابي وحده يكفي لوصف البيانات؟
الإجابة هي: لا. فقد يكون لدينا مجموعتان من البيانات لهما نفس المتوسط الحسابي، ولكن تكون إحداهما متقاربة جدًا حول المتوسط، بينما تكون الأخرى متباعدة ومنتشرة بشكل كبير.
وهنا تظهر أهمية مقاييس التشتت، لأنها تساعدنا على معرفة مدى ابتعاد قيم البيانات عن بعضها وعن المتوسط الحسابي، وبالتالي معرفة درجة التجانس أو الاختلاف داخل البيانات.
ما المقصود بمقاييس التشتت؟
مقاييس التشتت هي مجموعة من المقاييس الإحصائية التي تستخدم لقياس مدى انتشار أو تباعد قيم مجموعة البيانات عن بعضها أو عن مقياس النزعة المركزية، وخاصة المتوسط الحسابي.
ومن خلال مقاييس التشتت يمكننا معرفة ما إذا كانت البيانات متجانسة ومتقاربة، أم متباعدة وغير متجانسة.
وتظهر أهمية هذه المقاييس بشكل واضح عند مقارنة مجموعتين من البيانات لهما نفس المتوسط الحسابي، ولكن تختلفان في درجة انتشار القيم.
مثال يوضح أهمية التشتت
لنفترض أن لدينا عينتين من علب عصير البرتقال، وتم قياس كمية العصير باللتر.
العينة A:
1.11 ، 1.03 ، 0.94 ، 1.00 ، 0.97
العينة B:
1.14 ، 0.91 ، 0.88 ، 1.01 ، 1.06
نجد أن المتوسط الحسابي لكلتا العينتين يساوي تقريبًا:
إذن، إذا اعتمدنا على المتوسط الحسابي فقط، فقد نعتقد أن العينتين متشابهتان. ولكن عند النظر إلى القيم نفسها نجد أن بيانات العينة A أكثر تقاربًا حول المتوسط، بينما بيانات العينة B أكثر انتشارًا.
وهذا الاختلاف في انتشار القيم هو ما نسميه التشتت.
أهم مقاييس التشتت
من أهم مقاييس التشتت التي سوف نتعرف عليها في هذه السلسلة:
- المدى.
- المدى الربيعي.
- الانحراف الربيعي.
- الانحراف المعياري.
- الانحراف المتوسط.
- القيمة المعيارية.
- معامل الاختلاف أو التغاير النسبي.
وفي هذا المقال سوف نركز على المدى والمدى الربيعي والانحراف الربيعي.
أولًا: المدى Range
يُعد المدى من أبسط مقاييس التشتت وأسهلها في الحساب، وهو عبارة عن الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.
حيث:
- R: المدى.
- Xmax: أكبر قيمة.
- Xmin: أصغر قيمة.
مثال
في العينة A:
1.11 ، 1.03 ، 0.94 ، 1.00 ، 0.97
أكبر قيمة = 1.11، وأصغر قيمة = 0.94.
إذن مدى العينة A يساوي 0.17 لتر.
وبالنسبة للعينة B:
وهذا يشير إلى أن قيم العينة B أكثر تشتتًا من قيم العينة A وفقًا لمقياس المدى.
عيوب المدى
على الرغم من سهولة حساب المدى، فإنه يُعد من المقاييس الأقل دقة، خاصة عندما يكون حجم العينة كبيرًا؛ لأنه يعتمد فقط على قيمتين:
- أكبر قيمة.
- أصغر قيمة.
وبالتالي فإنه يهمل جميع القيم الواقعة بينهما، كما أنه يتأثر بدرجة كبيرة بالقيم المتطرفة.
ولهذا السبب نلجأ أحيانًا إلى مقاييس أخرى أكثر دقة، ومنها المدى الربيعي.
ثانيًا: المدى الربيعي Interquartile Range
المدى الربيعي هو مقياس للتشتت يعتمد على الربيعين الأول والثالث، ويهتم بانتشار القيم الموجودة في منتصف البيانات، ولذلك فهو أقل تأثرًا بالقيم المتطرفة مقارنة بالمدى.
حيث:
- Q1: الربيع الأول.
- Q3: الربيع الثالث.
- RQ: المدى الربيعي.
مثال
إذا كان:
فإن:
إذن المدى الربيعي يساوي 7.
ثالثًا: الانحراف الربيعي
الانحراف الربيعي، أو نصف المدى الربيعي، يساوي نصف الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول.
وباستخدام المثال السابق:
إذن الانحراف الربيعي يساوي 3.5.
المدى الربيعي في البيانات المبوبة
عند التعامل مع بيانات مبوبة في جدول تكراري، يتم أولًا حساب الربيع الأول والربيع الثالث باستخدام قوانين تحديد الربيعات للبيانات المبوبة، ثم نحسب الفرق بينهما للحصول على المدى الربيعي.
خلاصة الجزء الأول
تعرفنا في هذا الجزء على فكرة مقاييس التشتت، ولماذا لا يكفي المتوسط الحسابي وحده لوصف البيانات. كما تعرفنا على المدى والمدى الربيعي والانحراف الربيعي، مع القوانين والأمثلة.
وفي الجزء التالي من سلسلة مقاييس التشتت سنتناول واحدًا من أهم المقاييس الإحصائية وأكثرها استخدامًا، وهو الانحراف المعياري، مع توضيح طريقة حسابه للبيانات غير المبوبة والمبوبة.
أسئلة شائعة
ما هو المدى في الإحصاء؟
المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.
ما قانون المدى؟
R = Xmax − Xmin
ما الفرق بين المدى والمدى الربيعي؟
المدى يعتمد على أكبر وأصغر قيمة، بينما يعتمد المدى الربيعي على الربيع الأول والثالث، ولذلك يكون أقل تأثرًا بالقيم المتطرفة.