📊 معامل ارتباط بيرسون بالطريقة المطولة: الشرح الكامل بالأمثلة والتحذيرات التي لا يخبرك بها أحد!

في عالم الإحصاء وتحليل البيانات، يُعد معامل ارتباط بيرسون (Pearson Correlation Coefficient) أحد أهم المؤشرات التي تُستخدم لقياس قوة واتجاه العلاقة بين متغيرين كميين. ولكن رغم بساطة فكرته، فإن حسابه باستخدام الطريقة المطولة يتطلب فهمًا دقيقًا للخطوات الرياضية وتفسيرًا واعيًا للنتائج.

🔍 ما هو معامل ارتباط بيرسون؟

هو قيمة عددية تتراوح بين -1 و+1، تُستخدم لقياس العلاقة الخطية بين متغيرين. فإذا كانت:

• +1 → علاقة طردية تامة.
• -1 → علاقة عكسية تامة.
• 0 → لا توجد علاقة خطية.

⚠️ تحذير مهم قبل البدء:

كون معامل الارتباط مختلفًا عن الصفر لا يعني بالضرورة وجود علاقة سببية مباشرة بين المتغيرين. فقد يكون هذا الارتباط ناتجًا عن وجود عامل مشترك أو عدة عوامل تؤثر على كليهما. فمثلاً:

وجود ارتباط بين دخل الزوج ودخل الزوجة لا يعني أن أحدهما سبب في الآخر، فقد يكون العامل المشترك هو المستوى التعليمي لكل منهما.

📐 متى نستخدم الطريقة المطولة لحساب بيرسون؟

تُستخدم الطريقة المطولة عندما تكون البيانات غير مبوبة (Raw Data) وتريد حساب معامل الارتباط يدويًا بدون برامج.

📊 خطوات حساب معامل ارتباط بيرسون (الطريقة المطولة):

1. حساب الوسط الحسابي لكل متغير:
   X̄ = ΣX / n و Ȳ = ΣY / n
2. نحسب الانحرافات:
   xi = Xi - X̄ و yi = Yi - Ȳ
3. نحسب حاصل ضرب الانحرافات: xi * yi
4. نحسب مربع كل انحراف: xi² و yi²
5. نحسب المجموعات التالية:
   • Σ(xi * yi)
   • Σ(xi²)
   • Σ(yi²)

🔹 الخطوة 6: نطبق قانون بيرسون

وأخيرًا، نطبق القانون:

r = Σ((X - 𝗫_X) × (Y - 𝗫_Y)) / √[Σ(X - 𝗫_X)² × Σ(Y - 𝗫_Y)²]

أو بطريقة مبسطة:

r = Σ(dX * dY) / √(Σ(dX²) * Σ(dY²))

💡 توضيح رموز المعادلة:

• Xi, Yi: القيم الأصلية للمتغيرين
• X̄, Ȳ: الوسط الحسابي لكل متغير
• xi, yi: انحراف كل قيمة عن الوسط


• Σ(dX * dY) = مجموع حاصل ضرب الفروقات
• Σ(dX²) = مجموع مربعات فروقات X
• Σ(dY²) = مجموع مربعات فروقات Y

📌 مثال تطبيقي

نفترض عندنا الجدول التالي:

X	Y
10	20
20	25
30	30
40	35
50	45

هنحسب المتوسطات:

• المتوسط لـ X = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) / 5 = 30
• المتوسط لـ Y = (20 + 25 + 30 + 35 + 45) / 5 = 31

نحسب الجدول التالي:

X	Y	dX	dY	dX × dY	dX²	dY²
10	20	-20	-11	220	400	121
20	25	-10	-6	60	100	36
30	30	0	-1	0	0	1
40	35	10	4	40	100	16
50	45	20	14	280	400	196
المجاميع				600	1000	370

نحسب معامل الارتباط:

r = 600 / √(1000 × 370) = 600 / √370000 ≈ 600 / 608.28 ≈ 0.986

✳️ إذًا، معامل الارتباط ≈ 0.986، وده معناه إن فيه علاقة خطية قوية جدًا بين X و Y.

🛑 أخطاء شائعة يجب تجنبها:

• استخدام بيرسون مع بيانات رتبية أو اسمية.
• تفسير معامل الارتباط كعلاقة سببية مباشرة.
• نسيان التحقق من وجود متغيرات أخرى مؤثرة.

🔗 روابط مفيدة:

• شرح بيرسون على Investopedia
• مقالنا عن اختبارات Post Hoc
• معامل الاختلاف Coefficient of Variation | شرح شامل بالأمثلة

---

حقوق النشر © 2025 - ذاكر احصا. جميع الحقوق محفوظة.